Метод конечных элементов

Связанные упруго-гидродинамические задачи - довольно сложные в плане реализации и сходимости проблемы. Они могут быть решены в конечно-элементном программном комплексе ANSYS. Для их решения можно использовать связки модулей ANSYS Structural, ANSYS Flotran или ANSYS Structural с ANSYS CFX. Первый вариант больше подходит для решения более простых задач, однако, и он нами апробирован на классе задач биомеханики течения крови в крупных артериях человека.

При описании многих процессов приходится решать связанные задачи. Это могут быть задачи термоупругости, упруго-гидродинамические и другие. В этой статье мы подробно остановимся на связанных упруго-гидродинамических задачах. Данный тип проблем возникает при моделировании процессов течения различных жидкостей и газов по трубам, течения крови в артериях, работы сердца и т.п. Предполагается, что жидкость действует на стенку посредством давления и вязких сил, а стенка (труба) под действием этих сил деформируется. Таким образом, изменяется область течения.

Теория метода конечных элементов подразумевает обязательное разбиение исследуемой области на подобласти, то есть построение вычислительной сетки. В одномерном случае элементы сетки будут являться отрезками, в плоском случае - треугольниками и четырехугольниками, а в трехмерном - тетраэдрами, гексаэдрами, пирамидами и призмами. От качества вычислительной сетки зависит не только время расчетов, но и их правильность, точность и адекватность. Очевидно, что чем гуще сетка и мельче элементы, тем больше времени займет расчет.

Все процессы и явления можно условно поделить на два класса: формализуемые и неформализуемые. Первые могут быть описаны математической моделью, то есть системой дифференциальных уравнений. Последняя дополняется краевыми условиями. Большинство процессов и явлений, происходящих в природе, требуют описания сложными моделями, часто трехмерными. Поэтому часто они не могут быть решены аналитически, и исследователи вынуждены применять численные методы. Все численные методы можно разделить следующим образом: методы конечных разностей и методы конечных элементов.

Сегодня метод конечных элементов используется практически повсеместно на стадии проектирования деталей и элементов конструкций, а также при моделировании различных процессов и явлений. Он успешно применяется в механике, биомеханике, сопротивлении материалов и других отраслях науки. Инженеры используют специализированные пакеты, позволяющие не только решать краевые задачи, но и строить геометрические модели, создавать вычислительную сетку и проводить глубокий анализ полученных расчетных данных.

На сегодняшний день конечно-элементное моделирование является мощным инструментом, позволяющим численно подтверждать или же опровергать теоретические выкладки практически во всех областях науки: от физики до биологии. Безусловно, важной составляющей является и математическое моделирование процессов, но язык формул и предикатов довольно сложно сделать наглядным и простым для восприятия широкого круга исследователей, поэтому использование метода конечных элементов в этом смысле является более предпочтительным.

Метод конечных элементов (МКЭ) был разработан в связи с появлением задач, касающихся исследований космоса. В 1963 году ученый Мелош внес серьезный вклад в развитие метода. Тогда он доказал, что метод конечных элементов является вариантом метода Релея-Ритца. Серьезное развитие метод конечных элементов получил в тот момент, когда уравнения для элементов стали получать при помощи метода наименьших квадратов или метода Галеркина. Тогда МКЭ, в основном, применялся для решения задач теплопередачи, гидродинамики, механики строительства.