Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) был разработан в связи с появлением задач, касающихся исследований космоса. В 1963 году ученый Мелош внес серьезный вклад в развитие метода. Тогда он доказал, что метод конечных элементов является вариантом метода Релея-Ритца. Серьезное развитие метод конечных элементов получил в тот момент, когда уравнения для элементов стали получать при помощи метода наименьших квадратов или метода Галеркина. Тогда МКЭ, в основном, применялся для решения задач теплопередачи, гидродинамики, механики строительства. Использование метода Галеркина или метода наименьших квадратов позволяет отказаться от вариационной постановки задачи. Этот факт позволил применять метод конечных элементов для решения любых задач, постановки которых могут быть записаны с помощью дифференциальных уравнений.
Основная идея метода состоит в следующем. Искомую непрерывную функцию или величину заменяют дискретным приближением, строящемся на конечном множестве кусочно-непрерывных функций, которые, в свою очередь, определяются на множестве подобластей. Кусочно-непрерывные функции задаются на основе значений непрерывной искомой величины в точках исследуемой области. Непрерывная искомая величина перед использованием метода неизвестная и требуется найти ее значения во внутренних точках исследуемой области. Однако, дискретная модель достаточно просто строится на основе предположения, что ее численные значения на множестве внутренних точек области считаются известными. Далее переходят к рассмотрению общего случая.
Подведем итог, для того, чтобы построить дискретную модель, прибегают к следующей последовательности действий.
1. Сначала в изучаемой области задается конечное число точек. Их называют узлами.
2. Непрерывная функция или величина считается неизвестной в этих узлах.
3. Область определения искомой функции разбивают на конечное множество подобластей, которые впоследствии называют конечными элементами. Последние в совокупности полностью покрывают исследуемую область и имеют смежные узловые точки.
4. Неизвестная непрерывная функция на каждом конечном элементе заменяется многочленом, который должен быть определен при помощи значений этой функции в узлах. Каждому элементу ставится в соответствие свой полином, которые, в свою очередь, подбираются так, чтобы сохранить непрерывность искомой функции вдоль границ каждого элемента.